FISICA

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus[1] (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvĕre 'mover'

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado:

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_0$

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica

Mecánica newtoniana

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

$\vec{p} = m \vec{v}$

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

$\vec{p}=\int_{m} \vec{v} dm$

Cantidad de movimiento en mecánica relativista

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

$\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{ \sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}} } = \gamma m\vec{v}$

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

$\mathbf{P} = (P^0, P^1, P^2, P^3) = \left(\frac{E}{c},p_x, p_y, p_z\right)$

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

$\hat{p}_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \qquad \hat{p}_y = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y} \qquad \hat{p}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial z}$

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Mecánica newtoniana

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

$\mathbf{P}(\mathbf{r}_i,\dot\mathbf{r}_i) = \sum_{i=1}^N m_i\dot\mathbf{r}_i$

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

$L:U\subset \R^{2n} \to \R, \qquad (\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = \sum_{i,j} \dot{q}_i\frac{g_{ij}(q_2,...,q_n)}{2}\dot{q}_j \ - \ V(q_2,...,q_n)$

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

$0 = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{d}{dt}\left(\sum_j g_{ij}\dot{q}_j\right) \ - \ 0 \Rightarrow p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} = \sum_j g_{ij}\dot{q}_j = \mbox{constante}$

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

$\frac{df(\mathbf{p},\mathbf{q})}{dt} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} + \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \{f,H\}_{pq}$

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

$0 = \frac{dp_j}{dt} = \{p_j,H\}_{pq} = \sum_i\left( 0 \cdot \frac{\partial H}{\partial p_i} + \delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}$

Mecánica relativista

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

$P^\alpha = mU^\alpha\ = m\frac{dx^\alpha}{d\tau}$

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

$\frac{dP^\alpha}{d\tau} = U^\beta\nabla_\beta P^\alpha = U^\beta\left[m\frac{dU^\alpha}{dx^\beta}+ m\Gamma^\alpha_{\gamma\beta}U^\gamma \right] = m\left[ \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}+ \Gamma^\alpha_{\gamma\beta} \frac{dx^\gamma}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} \right]$

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo . Se tiene que:

$\frac{d \hat{p}_i}{d t} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{p}_i, \hat{H}] = - \boldsymbol{\nabla} V(x_i)$

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

IMPULSO movimiento
Según el principio de masa, si a ésta se le aplica una fuerza F adquiere una aceleración a :
F = m.a
Siendo:
F: fuerza [F] = N (Newton)
a: aceleración [a] = m/s ²
m: masa [m] = kg
Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F :
F.t = m.a.t
Como:
a.t = v
siendo:
v: velocidad [v] = m/s
t: tiempo [t] = s
Tenemos:
F.t = m.v
Al término F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al término m.v se lo denomina cantidad de movimiento, entonces, para el primero:
I = F.t
siendo:
I: impulso [I] = kg.m/s
para el segundo:
p = m.v
siendo:
p: cantidad de movimiento [p] = kg.m/s
Para deducir las unidades, tenemos:
F.t = m.v
N.s = kg.m/s N = kg.m/s ²
kg.m/s ².s = kg.m/s
luego:
[I] = [p] = kg.m/s = N.s
El impulso de la fuerza aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca,o dicho de otro modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.
Unidades en los distintos sistemas

c.g.s. S.I. Técnico
Cantidad de movimiento
Impulso
g.m/s
din.s
kg.m/s
N.s
kgf.s
kgf.s
El impulso y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales.
Conservación de la cantidad de movimiento
Si con un cuerpo de masa m₁ y velocidad v₁ se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m₂ y velocidad v₂, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que:
m₁.v₁ = m₂.v₂
es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.
Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice:
En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.
Σm.v = 0
m_i.v_i = m_f.v_f
ΔP = Δp₁ + Δp₂
Choque
Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.
Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.
En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará en calor que disiparán los cuerpos.
1 - Choque plástico o inelástico
a) Velocidades de igual dirección y sentido.
Supongamos un cuerpo 1 de masa m₁ y velocidad v₁ que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m₂ y velocidad v₂, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos.
La velocidad final será:
m₁.v_1i + m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f
como v_1f y v_2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:
v_1f = v_2f = v_f
m₁.v_1i + m₂.v_2i = (m₁ + m₂).v_f
v_f = (m₁.v_1i + m₂.v_2i)/(m₁ + m₂)

b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será:
m₁.v_1i - m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f
igualmente:
v_1f = v_2f = v_f
m₁.v_1i - m₂.v_2i = (m₁ + m₂).v_f
v_f = (m₁.v_1i - m₂.v_2i)/(m₁ + m₂)
La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.
2 - Choque elástico
a) Velocidades de igual sentido
Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será:
v_1f = (v_2f + v_2i).m₂/m₁ + v_1i
ó:
v_1f = v_2f + v_2i - v_1i
b) Velocidades de distinto sentido
En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será:
v_1f = (v_2f - v_2i).m₂/m₁ + v_1i
El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento.
Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.
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Bachilleres I-MANTTO-4

Martinez HuilFeR 21.009.266
Lopez Rowuar 21.110.940
Torres Raisther 20.494.922